U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika
U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta
Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
Rasio r = Un / Un-1
Suku ke-n barisan geometri
a, ar, ar² , .......arn-1 U1, U2, U3,......,Un
Suku ke n Un = arn-1 ® fungsi eksponen (dalam n)
DERET GEOMETRI
a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri a = suku awal r = rasio n = banyak suku
Jumlah n suku
Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1 = a(1-rn)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)
Keterangan:
Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku Un > Un-1 Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku Un < Un-1
Bergantian naik turun, jika r < 0
Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah _______ __________ Ut = Ö U1xUn = Ö U2 X Un-1 dst.
Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar
DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA
Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
U1 + U2 + U3 + ..............................
¥ å Un = a + ar + ar² ......................... n=1
dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rn ® 0
Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
Jumlah tak berhingga S¥ = a/(1-r)
Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1
Catatan:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + .................
Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
a+ar2 +ar4+ ....... Sganjil = a / (1-r²)
Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
a + ar3 + ar5 + ...... Sgenap = ar / 1 -r²
Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r
PENGGUNAAN
Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)
M0, M1, M2, ............., Mn
M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0
M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0
. . . .
Mn =M0 + P/100 (n) M0 ® Mn = {1 + P/100 (n) } M0
Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)
M0 = Modal awal Mn = Modal setelah n periode p = Persen per periode atau suku bunga n = Banyaknya periode
Catatan:
Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b tg(a + b ) = tg a + tg b 1 - tg2a
SELISIH DUA SUDUT (a - b)
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b tg(a - b ) = tg a - tg b 1 + tg2a
SUDUT RANGKAP
sin 2a = 2 sin a cos a cos 2a = cos2a - sin2 a = 2 cos2a - 1 = 1 - 2 sin2a tg 2a = 2 tg 2a 1 - tg2a sin a cos a = ½ sin 2a cos2a = ½(1 + cos 2a) sin2a = ½ (1 - cos 2a)
Secara umum :
sin na = 2 sin ½na cos ½na cos na = cos2 ½na - 1 = 2 cos2 ½na - 1 = 1 - 2 sin2 ½na tg na = 2 tg ½na 1 - tg2 ½na
JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA
BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN
sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b 2 2 sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b 2 2 cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b 2 2 cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b 2 2
BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b) 2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b) 2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b) - 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)
PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA
Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)
a cos x + b sin x = K cos (x-a)
dengan : K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ?
Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut I II III IV a + - - + b + + - -
keterangan : a = koefisien cos x b = koefisien sin x
PERSAMAAN I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360° x2 = (180° - a) + n.360°
cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°
tg x = tg a Þ x = a + n.180° (n = bilangan bulat)
II. a cos x + b sin x = c a cos x + b sin x = C K cos (x-a) = C cos (x-a) = C/K syarat persamaan ini dapat diselesaikan -1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)
misalkan C/K = cos b cos (x - a) = cos b (x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°
Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan disebut akar dari suatu persamaan berarti bilangan tersebut memenuhi persamaan.
Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat ditentukan dengan cara
Memfaktorkan
ax² + bx + c = 0 ® ax² + bx + c = 0 ® a (x + p/a) (x + p/a) = 0 ® x1 = - p/a dan x2 = - q/a
dengan p.q = a.c dan p + q = b
Melengkapkan bentuk kuadrat persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi (x + p)² = q² ® x + p = ± q x1 = q - p dan x2 = - q - p
Pengertian matematika sangat sulit didefinsikan secara akurat. Pada umumnya orang awam hanya akrab dengan satu cabang matematika elementer yang disebut aritmatika atau ilmu hitung yang secara informal dapat didefinisikan sebagai ilmu tentang berbagai bilangan yang bisa langsung diperoleh dari bilangan-bilangan bulat 0, 1, -1, 2, - 2, ..., dst, melalui beberapa operasi dasar: tambah, kurang, kali dan bagi.
Sebenarnya hal ini berhubungan dengan busur dan jari-jari sebuah lingkaran. Satu radian merupakan besar sudut pada saat jari-jari lingkaran sama dengan busur yang berada di sisi luar lingkaran. Satu radian memiliki nilai sebesar 57,30. Sementara itu, keliling lingkaran mempunyai sudut sebesar 3600 sehingga keliling lingkaran adalah 3600 : 57,30 = 6,280 radian. Agar dapat digunakan lebih mudah saat menghitung luas lingkaran serta karena kebanyakan lingkaran tidak diketahui jari-jarinya melainkan diameternya, maka nilai π diubah menjadi setengahnya yaitu atau 3,142857 dan disederhanakan menjadi 3,14.
Rumus Bujur Sangkar Bujur sangkar adalah bangun datar yang memiliki empat buah sisi sama panjang - Keliling : Panjang salah satu sisi dikali 4 (4S) (AB + BC + CD + DA) - Luas : Sisi dikali sisi (S x S)
Rumus Persegi Panjang Persegi panjang adalah bangun datar mirip bujur sangkar namun dua sisi yang berhadapan lebih pendek atau lebih panjang dari
dua sisi yang lain. Dua sisi yang panjang disebut panjang, sedangkan yang pendek disebut lebar. - Keliling : Panjang tambah lebar kali 2 ((p+l)x2) (AB + BC + CD + DA) - Luas : Panjang dikali lebar (pl)
Rumus Segitiga - Keliling : Sisi pertama + sisi kedua + sisi ketiga (AB + BC + CA) - Luas : Panjang alas dikali pangjang tinggi dibagi dua (a x t / 2)
Rumus Lingkaran - Keliling : diameter dikali phi (d x phi) atau phi dikali 2 jari-jari (phi x (r + r) - Luas : phi dikali jari-jari dikali jari-jari (phi x r x r) - phi = 22/7 = 3,14
Rumus Jajar Genjang atau Jajaran Genjang - Keliling : Penjumlahan dari keempat sisi yang ada (AB + BC + CD + DA) - Luas : alas dikali tinggi (a x t)
Rumus Belah Ketupat - Keliling : Penjumlahan dari keempat sisi yang ada (AB + BC + CD + DA) - Luas : alas dikali panjang diagonal dibagi 2 (a x diagonal / 2) - Diagonal : Garis tengah dua sisi berlawanan
Rumus Trapesium - Keliling : Penjumlahan dari keempat sisi yang ada (AB + BC + CD + DA) - Luas : Jumlah sisi sejajar dikali tinggi dibagi 2 ((AB + CD) / 2)
Rumus Kubus - Volume : Sisi pertama dikali sisi kedua dikali sisi ketiga (S pangkat 3)
Rumus Balok - Volume : Panjang dikali lebar dikali tinggi (p x l x t)
Rumus Bola - Volume : phi dikali jari-jari dikali tinggi pangkat tiga kali 4/3 (4/3 x phi x r x t x t x t) - Luas : phi dikali jari-jari kuadrat dikali empat (4 x phi x r x r)
Rumus Limas Segi Empat - Volume : Panjang dikali lebar dikali tinggi dibagi tiga (p x l x t x 1/3) - Luas : ((p + l) t) + (p x l)
Rumus Tabung - Volume : phi dikali jari-jari dikali jari-jari dikali tinggi (phi x r2 x t) - Luas : (phi x r x 2) x (t x r)
Rumus Kerucut - Volume : phi dikali jari-jari dikali jari-jari dikali tinggi dibagi tiga (phi x r2 x t x 1/3) - Luas : (phi x r) x (S x r) - S : Sisi miring kerucut dari alas ke puncak (bukan tingi)
Rumus Prisma Segitiga Siku-siku - Volume : alas segitiga kali tinggi segitiga kali tinggi prisma bagi dua (as x ts x tp x)
A. Simetri Lipat Simetri Lipat adalah jumlah lipatan yang dapat dibentuk oleh suatu bidang datar menjadi 2 bagian yang sama besar. Untuk mencari simetri lipat dari suatu bangun datar maka dapat dilakukan dengan membuat percobaan dengan membuat potongan kertar yang ukurannya mirip dengan yang akan diuji coba. Lipat-lipat kertas tersebut untuk menjadi dua bagian sama besar. Berikut ini adalah banyak simetri lipat dari bangun datar umum :
- Persegi Panjang memiliki 2 simetri lipat - Bujur Sangkar memiliki 4 simetri lipat - Segitiga Sama Sisi memiliki 3 simetri lipat - Belah Ketupat memiliki 2 simetri lipat - Lingkaran memiliki simetri lipat yang jumlahnya tidak terbatas
B. Simetri Putar Simetri Putar adalah jumlah putaran yang dapat dilakukan terhadap suatu bangun datar di mana hasil putarannya akan membentuk pola yang sama sebelum diputar, namun bukan kembali ke posisi awal. Percobaan dapat dilakukan mirip dengan percobaan pada simetri lipat namun caranya adalah dengan memutar kertas yang telah dibentuk. Berikut ini adalah banyak simeti putar pada bangun datar umum :
- Persegi Panjang memiliki 2 simetri putar - Bujur Sangkar memiliki 4 simetri putar - Segitiga Sama Kaki tidak memiliki simetri putar - Segitiga Sama Sisi memiliki 3 simetri putar - Belah Ketupat memiliki 2 simetri putar - Lingkaran memiliki simetri putar yang jumlahnya tidak terbatas
Sebenarnya saya kurang setuju dengan cara - cara yang digunakan oleh beberapa bimbingan belajar ( kayaknya hampir semua bimbel ) yang mengajar trik - trik tertentu ( kadang disebut sebagai rumus cepat ) untuk mengerjakan soal matematika.
1. Saya kadang suka mendapat pertanyaan dari siswa " apakah ada rumus cepatnya pak ? " jika sebuah soal terkesan agak sedikit menjelimet dalam proses pencarian jawabannya.
2. Sebenarnya " rumus cepat " tersebut kadang dipahami secara instant, padahal sebuah rumus cepat itu sebenarnya didapat dari kematangan konsep sebuah materi ( itu artinya untuk si pengajar mungkin rumus tersebut mudah untuk dicerna, akan tetapi siswa tidak melihat proses bagaimana rumus itu bisa ada).
3. " Rumus cepat " justru menjadi beban siswa, sebab dia harus menghapal rumus tersebut, padahal matematika kan sebenarnya mengajarkan siswa agar dapat berpikir secara logis ( bukan menghapal rumus, ini bukan pelajaran sejarah, guys )dalam menyelesaikan masalah ( artinya jangan sampai terjebak pada rumus cepat ) 4. Ini baru tipsnya Ibarat orang latihan silat kalau mau jadi master tidak mungkin kita hanya mempelajarai trik suatu jurus, seseorang baru bisa jadi master kalau dia rajin berlatih dan sering mengadu ilmu yang didapat dengan orang lain. Kalau di matematika anda baru bisa jadi master kalau sering berlatih mengerjakan soal dan menaklukkan soal yang bervariasi.
pi adalah perbandingan keliling lingkaran dengan diameter. pi=k/d sehingga jiga di pindah ruasnya maka rumus menjadi K lingkaran= pi.d
pi=3.14 pi=3.14 dapa dicari dengan menggunakan rumus integral atau pendekatan. Dengan menggunakan pendekatan maka kita dapat membuat dan mengukur lingkaran tersebut sehingga diketahui keliling dan jari-jarinya.Lalu kita gunakan rumus pi=k/d,setelah dicari hasilnya ketemu 3,14152 atau 3,142253 atau 3,143321. Jadi kita dapat mengambil kesimpulan bahwa pi=3,14. Begitu juga menurut hitungan ahli matematika dan fisika sebenarnya pi<22/7>223/7 diameternya atau 33,141.592.653.58/9.793.238 dan akhirnya diambil kesimpulan bahwa pi= 22/7 atau 3,14 dan rumus kel lingkaran adalah kel= pi . d atau kel lingkaran = 2 . pi . r karena d = 2.r
Berikut ini adalah satuan ukuran secara umum yang dapat dikonversi untuk berbagai keperluan sehari-hari yang disusun berdasarkan urutan dari yang terbesar hingga yang terkecil :
km = Kilo Meter hm = Hekto Meter dam = Deka Meter m = Meter dm = Desi Meter cm = Centi Meter mm = Mili Meter
A. Konversi Satuan Ukuran Panjang Untuk satuan ukuran panjang konversi dari suatu tingkat menjadi satu tingkat di bawahnya adalah dikalikan dengan 10 sedangkan untuk konversi satu tingkat di atasnya dibagi dengan angka 10. Contoh :
- 1 km sama dengan 10 hm - 1 km sama dengan 1.000 m - 1 km sama dengan 100.000 cm - 1 km sama dengan 1.000.000 mm - 1 m sama dengan 0,1 dam - 1 m sama dengan 0,001 km - 1 m sama dengan 10 dm - 1 m sama dengan 1.000 mm
B. Konversi Satuan Ukuran Berat atau Massa Untuk satuan ukuran berat konversinya mirip dengan ukuran panjang namun satuan meter diganti menjadi gram. Untuk satuan berat tidak memiliki turunan gram persegi maupun gram kubik. Contohnya :
- 1 kg sama dengan 10 hg - 1 kg sama dengan 1.000 g - 1 kg sama dengan 100.000 cg - 1 kg sama dengan 1.000.000 mg - 1 g sama dengan 0,1 dag - 1 g sama dengan 0,001 kg - 1 g sama dengan 10 dg - 1 g sama dengan 1.000 mg
C. Konversi Satuan Ukuran Luas Satuan ukuran luas sama dengan ukuran panjang namun untuk mejadi satu tingkat di bawah dikalikan dengan 100. Begitu pula dengan kenaikan satu tingkat di atasnya dibagi dengan angka 100. Satuan ukuran luas tidak lagi meter, akan tetapi meter persegi (m2 = m pangkat 2).
- 1 km2 sama dengan 100 hm2 - 1 km2 sama dengan 1.000.000 m2 - 1 km2 sama dengan 10.000.000.000 cm2 - 1 km2 sama dengan 1.000.000.000.000 mm2 - 1 m2 sama dengan 0,01 dam2 - 1 m2 sama dengan 0,000001 km2 - 1 m2 sama dengan 100 dm2 - 1 m2 sama dengan 1.000.000 mm2
D. Konversi Satuan Ukuran Isi atau Volume Satuan ukuran luas sama dengan ukuran panjang namun untuk mejadi satu tingkat di bawah dikalikan dengan 1000. Begitu pula dengan kenaikan satu tingkat di atasnya dibagi dengan angka 1000. Satuan ukuran luas tidak lagi meter, akan tetapi meter kubik (m3 = m pangkat 3).
- 1 km3 sama dengan 1.000 hm3 - 1 km3 sama dengan 1.000.000.000 m3 - 1 km3 sama dengan 1.000.000.000.000.000 cm3 - 1 km3 sama dengan 1.000.000.000.000.000.000 mm3 - 1 m3 sama dengan 0,001 dam3 - 1 m3 sama dengan 0,000000001 km3 - 1 m3 sama dengan 1.000 dm3 - 1 m3 sama dengan 1.000.000.000 mm3
Cara Menghitung : Misalkan kita akan mengkonversi satuan panjang 12 km menjadi ukuran cm. Maka untuk merubah km ke cm turun 5 tingkat atau dikalikan dengan 100.000. Jadi hasilnya adalah 12 km sama dengan 1.200.000 cm. Begitu pula dengan satuan ukuran lainnya. Intinya adalah kita harus melihat tingkatan ukuran serta nilai pengali atau pembaginya yang berubah setiap naik atau turun tingkat/level.
Satuan Ukuran Lain :
A. Satuan Ukuran Panjang - 1 inch / inchi / inc / inci = sama dengan = 25,4 mm - 1 feet / ft / kaki = sama dengan = 12 inch = 0,3048 m - 1 mile / mil = sama dengan = 5.280 feet = 1,6093 m - 1 mil laut = sama dengan = 6.080 feet = 1,852 km
1 mikron = 0,000001 m 1 elo lama = 0,687 m 1 pal jawa = 1.506,943 m 1 pal sumatera = 1.851,85 m 1 acre = 4.840 yards2 1 cicero = 12 punt 1 cicero = 4,8108 mm 1 hektar = 2,471 acres 1 inchi = 2,45 cm
B. Satuan Ukuran Luas - 1 hektar / ha / hekto are = sama dengan = 10.000 m2 - 1 are = sama dengan = 1 dm2 - 1 km2 = sama dengan = 100 hektar
C. Satuan Ukuran Volume / Isi 1 liter / litre = 1 dm3 = 0,001 m3
D. Satuan Ukuran Berat / Massa - 1 kuintal / kwintal = sama dengan = 100 kg - 1 ton = sama dengan = 1.000 kg - 1 kg = sama dengan = 10 ons - 1 kg = sama dengan = 2 pounds
Pertidaksamaan Logaritma 
