|
Pertidaksamaan Logaritma |
Senin, 16 Juni 2008 |
Bilangan pokok a > 0 ¹ 1 Tanda pertidaksamaan tetap/berubah tergantung nilai bilangan pokoknya a > 1 0 < a < 1
a log f(x) > b ® f(x) > ab a log f(x) < b ® f(x) < ab
(tanda tetap) a log f(x) > b ® f(x) < ab a log f(x) < b ® f(x) > ab
(tanda berubah) syarat f(x) > 0
Contoh:
Tentukan batas-batas nilai x yang memenuhi persamaan
²log(x² - 2x) < 3 a = 2 (a>1) ® Hilangkan log ® Tanda tetap
- 2 < x < 0 atau 2 < x < 4
x² - 2x < 2³ x² - 2x -8 < 0 (x-4)(x+2) < 0 -2 < x < 4
syarat : x² - 2 > 0 x(x-2) > 0 x < 0 atau x > 2
1/2log (x² - 3) < 0 a = 1/2 (0 < a < 1) ® Hilangkan log ® Tanda berubah
x < - 2 atau x > 2
(x² - 3) > (1/2)0 x² - 4 > 0 (x -2)(x + 2) < 0 x < -2 atau x > 2
syarat : x² - 3 > 0 (x - Ö3)(x + Ö3) > 0 x < Ö3 atau x > Ö3 |
posted by Theraphi Otak Dengan Matematika @ 00.40  |
|
|
Barisan dan Deret Geometri |
|
BARISAN GEOMETRI
U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika
U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta
Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
Rasio r = Un / Un-1
Suku ke-n barisan geometri
a, ar, ar² , .......arn-1 U1, U2, U3,......,Un
Suku ke n Un = arn-1 ® fungsi eksponen (dalam n)
DERET GEOMETRI
a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri a = suku awal r = rasio n = banyak suku
Jumlah n suku
Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1 = a(1-rn)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)
Keterangan:
Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku Un > Un-1 Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku Un < Un-1
Bergantian naik turun, jika r < 0
Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah _______ __________ Ut = Ö U1xUn = Ö U2 X Un-1 dst.
Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar
DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA
Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
U1 + U2 + U3 + ..............................
¥ å Un = a + ar + ar² ......................... n=1
dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rn ® 0
Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
Jumlah tak berhingga S¥ = a/(1-r)
Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1
Catatan:
a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + .................
Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
a+ar2 +ar4+ ....... Sganjil = a / (1-r²)
Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
a + ar3 + ar5 + ...... Sgenap = ar / 1 -r²
Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r
PENGGUNAAN
Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)
M0, M1, M2, ............., Mn
M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0
M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0
. . . .
Mn =M0 + P/100 (n) M0 ® Mn = {1 + P/100 (n) } M0
Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)
M0, M1, M2, .........., Mn
M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0
M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0 = (1 + P/100)² M0 . . .
Mn = {1 + P/100}n M0
Keterangan :
M0 = Modal awal Mn = Modal setelah n periode p = Persen per periode atau suku bunga n = Banyaknya periode
Catatan:
Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0). |
posted by Theraphi Otak Dengan Matematika @ 00.38  |
|
|
Barisan dan Deret Aritmatika |
|
BARISAN ARITMATIKA
U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta
Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1
Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b U1, U2, U3 ............., Un
Rumus Suku ke-n :
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n
DERET ARITMATIKA
a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.
a = suku awal b = beda n = banyak suku Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n
Jumlah n suku
Sn = 1/2 n(a+Un) = 1/2 n[2a+(n-1)b] = 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)
Keterangan:
Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")
Barisan aritmatika akan naik jika b > 0 Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"
Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1) dst.
Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n
Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b |
posted by Theraphi Otak Dengan Matematika @ 00.32  |
|
|
Persamaan Logaritma |
|
Adalah persamaan yang didalamnya terdapat logaritma dimana numerus ataupun bilangan pokoknya berbentuk suatu fungsi dalam x.
Masalah : Menghilangkan logaritma
alog f(x) = alog g(x) ® f(x) = g(x)
alog f(x) = b ® f(x) =ab
f(x)log a = b ® (f(x))b = a
Dengan syarat x yang didapat dari persamaan tersebut harus terdefinisi. (Bilangan pokok > 0 ¹ 1 dan numerus > 0 )
Contoh:
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut !
xlog 1/100 = -1/8 x-1/8 = 10-2 (x -1/8) -8 = (10-2)-8 x = 10 16
xlog 81 - 2 xlog 27 + xlog 9 + 1/2 xlog 729 = 6 xlog 34 - 2 xlog33 + xlog² + 1/2 xlog 36 = 6 4 xlog3 - 6 xlog3 + 2 xlog3 + 3 xlog 3 = 6 3 xlog 3 = 6 xlog 3 = 2 x² = 3 ® x = Ö3 (x>0)
xlog (x+12) - 3 xlog4 + 1 = 0 xlog(x+12) - xlog 4³ = -1 xlog ((x+12)/4³) = -1 (x+12)/4³ = 1/x x² + 12x - 64 = 0 (x + 16)(x - 4) = 0 x = -16 (TM) ; x = 4
²log²x - 2 ²logx - 3 = 0
misal : ²log x = p
p² - 2p - 3 = 0 (p-3)(p+1) = 0
p1 = 3 ²log x = 3 x1 = 2³ = 8
p2 = -1 ²log x = -1 x2 = 2-1 = 1/2 |
posted by Theraphi Otak Dengan Matematika @ 00.28  |
|
|
Sudut Istimewa |
|
SUDUT ISTIMEWA
0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° sin 0 1/2 ½ Ö2 ½ Ö3 1 0 -1 0 cos 1 ½ Ö3 ½ Ö2 1/2 0 -1 0 1 tan 0 1/3 Ö3 1 Ö3 ~ 0 ~ 0
Sudut (90 - a)
sin (90 - a) = Cos a Cos (90 - a) = sin a tan (90 - a) = cot a Sudut (90 + a)
sin (90 + a) = Cos a Cos (90 + a) = - sin a tan (90 + a) = - cot a Sudut (180 - a)
sin (180 - a) = sin a Cos (180 - a) = - Cos a tan (180 - a) = - tan a Sudut (180 + a)
sin (180+a) = -sina Cos (180 + a) = - Cos a tan (180 + a) = tan a Sudut (270 - a)
sin (270 - a) = - Cos a cos (270 - a) = - sin a tan (270 - a) = ctg a Sudut (270 + a)
sin (270 + a) = -cos a cos (270 + a) = sin a tan (270 + a) = - cot a Sudut (360 - a)
sin (360 - a) = - sin a Cos (360 - a) = Cos a tan (360 - a) = - tan a Sudut (360 + a)
sin (360 + a) = sin a Cos (360 + a) = Cos a tan (360 + a) = tan a
Sudut Negatif
sin (-a) = - sin a Cos (-a) = Cos a tan (-a) = - tan a
Sudut negatif dihitung searah dengan jarum jam. Tanda pada sudut negatif sesuai dengan tanda pada kuadran ke IV.
Keterangan :
Untuk a sudut lancipKuadran Hubungan I a atau (90 - a) II (180 - a) (90 + a) III (180 + a) (270 - a) IV (360 - a) (270 + a)
RINGKASAN
Sudut (180 ± a) ; (360 ± a) ® FUNGSI TETAP, tanda sesuai dengan kuadran
Sudut (90 ± a) ; (270 ± a) ® FUNGSI BERUBAH, tanda sesuai dengan kuadran |
posted by Theraphi Otak Dengan Matematika @ 00.16  |
|
|
Rumus-Rumus Trigonometri |
|
PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b tg(a + b ) = tg a + tg b 1 - tg2a
SELISIH DUA SUDUT (a - b)
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b tg(a - b ) = tg a - tg b 1 + tg2a
SUDUT RANGKAP
sin 2a = 2 sin a cos a cos 2a = cos2a - sin2 a = 2 cos2a - 1 = 1 - 2 sin2a tg 2a = 2 tg 2a 1 - tg2a sin a cos a = ½ sin 2a cos2a = ½(1 + cos 2a) sin2a = ½ (1 - cos 2a)
Secara umum :
sin na = 2 sin ½na cos ½na cos na = cos2 ½na - 1 = 2 cos2 ½na - 1 = 1 - 2 sin2 ½na tg na = 2 tg ½na 1 - tg2 ½na
JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA
BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN
sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b 2 2 sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b 2 2 cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b 2 2 cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b 2 2
BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b) 2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b) 2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b) - 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)
PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA
Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)
a cos x + b sin x = K cos (x-a)
dengan : K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ?
Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut I II III IV a + - - + b + + - -
keterangan : a = koefisien cos x b = koefisien sin x
PERSAMAAN I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360° x2 = (180° - a) + n.360°
cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°
tg x = tg a Þ x = a + n.180° (n = bilangan bulat)
II. a cos x + b sin x = c a cos x + b sin x = C K cos (x-a) = C cos (x-a) = C/K syarat persamaan ini dapat diselesaikan -1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)
misalkan C/K = cos b cos (x - a) = cos b (x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360° |
posted by Theraphi Otak Dengan Matematika @ 00.14  |
|
|
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat |
|
Bentuk umum : ax² + bx + c = 0
x variabel; a,b,c konstanta ; a ¹ 0
Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan disebut akar dari suatu persamaan berarti bilangan tersebut memenuhi persamaan.
Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat ditentukan dengan cara
Memfaktorkan
ax² + bx + c = 0 ® ax² + bx + c = 0 ® a (x + p/a) (x + p/a) = 0 ® x1 = - p/a dan x2 = - q/a
dengan p.q = a.c dan p + q = b
Melengkapkan bentuk kuadrat persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi (x + p)² = q² ® x + p = ± q x1 = q - p dan x2 = - q - p
Rumus ABC ax² + bx + c = 0 ® X1,2 = ( [-b ± Ö(b²-4ac)]/2a
bentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehingga sehingga X1,2 = (-b ± ÖD)/2a |
posted by Theraphi Otak Dengan Matematika @ 00.08  |
|
|
|
Tentang Saya |

Name:Niko Hariyadi
Home: Bandar Lampoeng
About Me: Seorang Siswa SMK N 5 Bandar Lampung
See my complete profile
|
Menu |
|
Archives |
|
Links |
|
Blog Friend's |
|
Powered by |
 |
|